Asymptotes et fonctions rationnelles

En 3e année, les élèves doivent apprendre à étudier des fonctions rationnelles. Une des difficultés est à comprendre comment trouver les équations des asymptotes verticales, horizontales et obliques. Il y a souvent une confusion.

Avec un peu de pratique, on remarque vite certaines choses en fonction des simplifications et du domaine de définition. Je propose d’exercer l’oeil des élèves à l’aide d’un petit jeu de cartes.


Asymptote verticale ou trou ?

Les élèves ont parfois tendance à confondre les valeurs exclues d’un domaine de définition et asymptote verticale.

La règle est assez simple : il faut s’approcher des valeurs exclues du domaine à l’aide de limites à gauches et à droites.

  • Si la limite donne l’infini (ou moins l’infini) alors il y a une asymptote verticale.
    La limite donnera l’infini si la fraction donne “A/0”, autrement dit : si on ne peut pas simplifier la fraction.
  • Sinon, en trouvant un nombre, cela signifie que la fonction a un trou.
    La limite initiale peut donner “0/0” et donc la fraction va se simplifier. Si elle ne donne pas “A/0”, c’est qu’on a simplifié le terme qui “posait problème” de la division par zéro. On a donc un nombre. Ce nombre signifie que la fonction ne part pas à l’infini.

Asymptote horizontale ou oblique ? Equation ?

Il s’agit du comportement à l’infini. Est-ce que la fraction se simplifie en laissant un x en haut de la fraction ou aucun ?

  • S’il y a un degré de plus au numérateur qu’au dénominateur, alors il y aura une asymptote oblique.
  • S’il le degré du numérateur est plus petit ou égal à celui du dénominateur, alors il y a un asymptote horizontale.

Le fichier à imprimer en recto-verso sur bords courts : https://pinkmaths.ch/wp-content/uploads/2019/11/av-ou-trou-ah-ou-ao.pdf


Ce type d’activité est pratique en début d’heure pour réviser. On peut aussi le proposer aux élèves rapides ou aux élèves qui aimeraient réviser une notion qu’ils ne comprennent plus bien.